問題一覧 - 高校数学問題集

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

接線と法線

\begin{enumerate} \item[(1)] 曲線 $x^2+xy+y^2=7$ 上の点 $(1,\,2)$ における接線の方程式を求めよ． \item[(2)] 楕円 $x=2\cos\theta$，$y=\sin\theta$ 上の，$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ に対応する点における接線の方程式を求めよ． \end{enumerate}

楕円・媒介変数表示の曲線の接線（A）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

接線と法線

\begin{enumerate} \item[(1)] 楕円 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 上の点 $(\sqrt{2},\,1)$ における接線の方程式を求めよ． \item[(2)] 曲線 $x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$ 上の，$t=\dfrac{\pi}{2}$ に対応する点における接線の方程式を求めよ． \end{enumerate}

曲線外の点から引く接線と接点（B）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

接線と法線

点 $(1,\,0)$ から曲線 $y=e^x$ に引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．

曲線外の点から引く接線と接点（A）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

接線と法線

原点から曲線 $y=\log x$ に引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．

いろいろな関数の曲線上の点における接線と法線（B）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

接線と法線

次の曲線上の点における接線と法線の方程式を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $y=\sqrt{x}$ \quad 点 $(4,\,2)$ \item[(2)] $y=\sin x$ \quad 点 $\left(\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ \end{enumerate}

いろいろな関数の曲線上の点における接線と法線（A）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

接線と法線

次の曲線上の点における接線と法線の方程式を求めよ．ただし，対数は自然対数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $y=\log x$ \quad 点 $(e,\,1)$ \item[(2)] $y=e^{2x}$ \quad 点 $(0,\,1)$ \end{enumerate}

媒介変数表示の d²y/dx²（B）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

楕円 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ について，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 媒介変数表示 $x=2\cos t$，$y=\sin t\ (0<t<\pi)$ を用いて，$\dfrac{dy}{dx}$ と $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の式で表せ． \item[(2)] (1) で求めた $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $y$ の式で表し，楕円の方程式の両辺を直接 $x$ で微分して求めた $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ と一致することを確かめよ． \end{enumerate}

媒介変数表示の d²y/dx²（A）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

\begin{enumerate} \item[(1)] $x=t^2$，$y=t^3\ (t>0)$ のとき，$\dfrac{dy}{dx}$ と $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の式で表せ． \item[(2)] $x^2+y^2=1$ のとき，$y\neq 0$ において $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $y$ の式で表せ． \end{enumerate}

媒介変数表示された関数の dy/dx（B）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

次の媒介変数表示で定められる $x$ の関数 $y$ について，$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $x=t+1$，$y=t^2-2t$ \item[(2)] $x=\cos^3\theta$，$y=\sin^3\theta$ \quad （アステロイド） \item[(3)] $x=e^t\cos t$，$y=e^t\sin t$ \end{enumerate}

媒介変数表示された関数の dy/dx（A）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

次の媒介変数表示で定められる $x$ の関数 $y$ について，$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $x=t^2$，$y=2t$ \item[(2)] $x=2\cos\theta$，$y=3\sin\theta$ \item[(3)] $x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$ \quad （サイクロイド） \end{enumerate}

x, y の方程式で表された関数の微分（B）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

次の方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について，$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ \item[(2)] $x^3+y^3-3xy=0$ \item[(3)] $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ \end{enumerate}

x, y の方程式で表された関数の微分（A）

★☆☆☆☆☆☆（教科書）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

次の方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について，$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $x^2+y^2=4$ \item[(2)] $y^2=4x$ \item[(3)] $x^2-xy+y^2=3$ \quad （また，点 $(1,\,2)$ における $\dfrac{dy}{dx}$ の値を求めよ） \end{enumerate}

式を変形してから n 回微分（B）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

関数 $y=\sin^2 x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ．

式を変形してから n 回微分（A）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

関数 $y=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $y=\dfrac{a}{x-2}+\dfrac{b}{x-1}$ となる定数 $a$，$b$ を求めよ． \item[(2)] 第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求めよ． \end{enumerate}

n 回微分の公式を帰納法で証明（B）

★★★☆☆☆☆（共通テスト）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

$f(x)=e^x\sin x$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $f'(x)=\sqrt{2}\,e^x\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ を示せ． \item[(2)] すべての自然数 $n$ について $f^{(n)}(x)=(\sqrt{2})^ne^x\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{4}\right)$ が成り立つことを証明せよ． \end{enumerate}

n 回微分の公式を帰納法で証明（A）

★★★☆☆☆☆（共通テスト）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

$f(x)=x^2e^x$ とする．すべての自然数 $n$ について \[ f^{(n)}(x)=\{x^2+2nx+n(n-1)\}e^x \] が成り立つことを，数学的帰納法で証明せよ．

基本的な関数の第 n 次導関数（B）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

次の関数の第 $n$ 次導関数を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $y=\log x$ \item[(2)] $y=\cos 2x$ \item[(3)] $y=\dfrac{1}{1-x}$ \end{enumerate}

基本的な関数の第 n 次導関数（A）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

高次導関数と陰関数・媒介変数表示の微分

次の関数の第 $n$ 次導関数を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $y=e^{2x}$ \item[(2)] $y=\dfrac{1}{x}$ \item[(3)] $y=\sin x$ \end{enumerate}