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★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題無限級数 $1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+\cdots$ の和を求めよ．ただし，$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}$ を用いてよい． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題\begin{enumerate} \item[(1)] $n$ を自然数とする．$0\leqq x\leqq 1$ のとき，次の等式を示せ． \[ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^{n-1}x^{n-1}+\frac{(-1)^nx^n}{1+x} \] \item[(2)] 無限級数 $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}+\cdots$ の和を求めよ．ただし，対数は自然対数とする． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題\begin{enumerate} \item[(1)] 区間 $[a,\,b]$ で連続な関数 $f(x)$，$g(x)$ について，シュワルツの不等式 \[ \left(\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right)^2\leqq\int_a^b\{f(x)\}^2dx\int_a^b\{g(x)\}^2dx \] を証明せよ． \item[(2)] 区間 $[0,\,1]$ で連続で，つねに正の値をとる関数 $h(x)$ について，$\displaystyle\int_0^1h(x)\,dx\int_0^1\frac{dx}{h(x)}\geqq 1$ を示せ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題\begin{enumerate} \item[(1)] 関数 $f(x)$，$g(x)$ は区間 $[a,\,b]$ で連続とする．すべての実数 $t$ について $\displaystyle\int_a^b\{tf(x)+g(x)\}^2dx\geqq 0$ であることを用いて，次の不等式を証明せよ． \[ \left(\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right)^2\leqq\int_a^b\{f(x)\}^2dx\int_a^b\{g(x)\}^2dx \] \item[(2)] (1) を用いて，$\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx\leqq\frac{2}{\sqrt{3}}$ を示せ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題次の極限を求めよ．ただし，対数は自然対数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x\sqrt{4+\sin t}\,dt$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\log(1+2t^2)\,dt$ \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^xe^{t^2}\,dt$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\sin t^2\,dt$ \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題$I_n=\displaystyle\int_1^e(\log x)^n\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする．ただし，対数は自然対数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$ を示せ． \item[(2)] $0\leqq I_n\leqq e-1$ を用いて，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=0$ を示せ． \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nI_n$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $I_n+I_{n+2}=\dfrac{1}{n+1}$ および $I_{n+2}<I_n$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nI_n$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式$n\geqq 2$ のとき，次の不等式を証明せよ． \[ 2(\sqrt{n+1}-1)<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-1 \] -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式$n\geqq 2$ のとき，次の不等式を証明せよ．ただし，対数は自然対数とする． \[ \log(n+1)<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}<1+\log n \] -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式次の不等式を証明せよ． \[ \frac{\pi}{4}<\int_0^1\frac{dx}{1+x^3}<1 \] -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式次の不等式を証明せよ． \[ \frac{4}{3}<\int_0^1e^{x^2}\,dx<e-1 \] -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式$1$ から $n$ までの整数から，1 つずつ無作為に $X$，$Y$ を独立に選ぶ．$X^2+Y^2\leqq n^2$ となる確率を $p_n$ とするとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ を求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式$1$ から $n$ までの整数が 1 つずつ書かれた $n$ 枚のカードから 1 枚引いて番号を記録し，もとに戻すことを 3 回くり返す．3 回目の番号が，1 回目の番号以上であり，かつ 2 回目の番号以上でもある確率を $p_n$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $p_n$ を $n$ の式で表せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ を，区分求積法を用いて求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式半径 1 の円周を $n$ 等分する点を $\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1}$ とし（$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}_0$ とする），$\mathrm{A}=\mathrm{P}_0$ とする．極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{AP}_k^{\,2}$ を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式半径 1 の半円の弧 AB を $n$ 等分する点を，A に近い方から $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1}$ とし，$\mathrm{P}_n=\mathrm{B}$ とする．極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{AP}_k$ を求めよ．
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★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{(n+1)(n+2)\cdots(3n)}{n^{2n}}\right\}^{\frac{1}{n}}$ を求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\{\frac{(2n)!}{n!}\right\}^{\frac{1}{n}}$ を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{2n}k$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}$ \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
区分求積法と定積分の不等式次の極限を求めよ．ただし，対数は自然対数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=n+1}^{3n}\log\frac{k}{n}$ \end{enumerate}