k·rᵏ⁻¹ 型の和（S−rS の利用）（A）

$S$ と $2S$ を，$2$ の累乗がそろうように 1 つずらして並べ，辺々引く（下図）． \begin{align*} S&=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots+n\cdot 2^{n-1}\\ 2S&=\phantom{1+{}}1\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots+(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^n \end{align*} 引くと \[ S-2S=1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}-n\cdot 2^n=\frac{2^n-1}{2-1}-n\cdot 2^n=(1-n)2^n-1 \] よって $S=(n-1)\cdot 2^n+1$