k·rᵏ⁻¹ 型の和（S−rS の利用）（B）

(1) $S-3S$ を計算する． \begin{align*} S&=1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+\cdots+(2n-1)\cdot 3^{n-1}\\ 3S&=\phantom{1+{}}1\cdot 3+3\cdot 3^2+\cdots+(2n-3)\cdot 3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^n \end{align*} 引くと \[ -2S=1+2(3+3^2+\cdots+3^{n-1})-(2n-1)3^n=1+2\cdot\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}-(2n-1)3^n=-2(n-1)3^n-2 \] よって $S=(n-1)\cdot 3^n+1$ (2) $T-\dfrac{1}{2}T$ を計算する． \begin{align*} T&=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^n}\\ \frac{1}{2}T&=\phantom{\frac{1}{2}+{}}\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}} \end{align*} 引くと \[ \frac{1}{2}T=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}} \] よって $T=2-\dfrac{n+2}{2^n}$