(x−α)(x−β) の定積分（1/6 公式）（A）

(1) $(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\}=(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha)$ であるから \[ \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\left[\frac{(x-\alpha)^3}{3}-(\beta-\alpha)\frac{(x-\alpha)^2}{2}\right]_\alpha^\beta=\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}-\frac{(\beta-\alpha)^3}{2}=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} \] \hfill 〔証明終〕 (2) $-\dfrac{\{3-(-1)\}^3}{6}=-\dfrac{64}{6}=-\dfrac{32}{3}$ (3) $x^2-2x-1=(x-\alpha)(x-\beta)$ で，$\beta-\alpha=(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$ であるから \[ -\frac{(2\sqrt{2})^3}{6}=-\frac{16\sqrt{2}}{6}=-\frac{8\sqrt{2}}{3} \] （この定積分の絶対値は，放物線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を表す．下図）