(x−α)(x−β) の定積分（1/6 公式）（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: (x−α)(x−β) の定積分（1/6 公式）（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の定積分を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\int_{1}^{4}(x-1)(x-4)\,dx$
\item[(2)] $\displaystyle\int_{-2}^{3}(x^2-x-6)\,dx$
\item[(3)] $\displaystyle\int_\alpha^\beta(x^2+x-1)\,dx$ \quad（ただし $\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)$ は $x^2+x-1=0$ の 2 つの解）
\end{enumerate}
$\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ を用いる．
(1) $-\dfrac{(4-1)^3}{6}=-\dfrac{27}{6}=-\dfrac{9}{2}$
(2) $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ であるから $-\dfrac{\{3-(-2)\}^3}{6}=-\dfrac{125}{6}$
(3) $\alpha,\ \beta=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ より $\beta-\alpha=\sqrt{5}$．よって $-\dfrac{(\sqrt{5})^3}{6}=-\dfrac{5\sqrt{5}}{6}$
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