問題一覧 2196件

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  • 互除法の考えで互いに素・最大公約数を示す（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    互除法と1次不定方程式
    \begin{enumerate} \item[(1)] 自然数 $n$ について，$5n+3$ と $3n+2$ は互いに素であることを証明せよ． \item[(2)] 50 以下の自然数 $n$ のうち，$2n+5$ と $n+1$ の最大公約数が 3 となるものは何個あるか． \end{enumerate}
  • 互除法の考えで互いに素・最大公約数を示す（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    互除法と1次不定方程式
    \begin{enumerate} \item[(1)] 自然数 $n$ について，$3n+7$ と $n+2$ は互いに素であることを証明せよ． \item[(2)] $n^2+1$ と $n+1$ の最大公約数が 2 となるような自然数 $n$ の条件を求めよ． \end{enumerate}
  • 互除法で最大公約数を求める（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    互除法と1次不定方程式
    互除法を用いて，1001 と 637 の最大公約数を求めよ．また，分数 $\dfrac{637}{1001}$ を約分せよ．
  • 互除法で最大公約数を求める（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    互除法と1次不定方程式
    互除法を用いて，391 と 299 の最大公約数を求めよ．
  • 指数を含む式と倍数を合同式で調べる（B）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    合同式（発展）
    \begin{enumerate} \item[(1)] $2^n+1$ が 3 の倍数となるような自然数 $n$ の条件を求めよ． \item[(2)] $2^n+1$ が 9 の倍数となるような自然数 $n$ の条件を求めよ． \end{enumerate}
  • 指数を含む式と倍数を合同式で調べる（A）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    合同式（発展）
    すべての 0 以上の整数 $n$ について，$3^{2n+1}+2^{n+2}$ は 7 の倍数であることを証明せよ．
  • 合同式を用いて倍数であることを証明する（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    合同式（発展）
    すべての自然数 $n$ について，$2^{3n}-1$ は 7 の倍数であることを，合同式を用いて証明せよ．
  • 合同式を用いて倍数であることを証明する（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    合同式（発展）
    すべての整数 $n$ について，$n^5-n$ は 5 の倍数であることを，合同式を用いて証明せよ．
  • 合同式を使って累乗の余りを求める（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    合同式（発展）
    \begin{enumerate} \item[(1)] $7^{2025}$ の一の位の数を求めよ． \item[(2)] $2^{50}$ を 9 で割った余りを求めよ． \end{enumerate}
  • 合同式を使って累乗の余りを求める（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    合同式（発展）
    $3^{100}$ を 7 で割った余りを求めよ．
  • 合同式の計算規則（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    合同式（発展）
    $m$ を自然数とし，$a$，$b$ を整数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $a\equiv b\pmod{m}$ ならば，自然数 $n$ について $a^n\equiv b^n\pmod{m}$ であることを証明せよ． \item[(2)] $38^5$ を 7 で割った余りを求めよ． \end{enumerate}
  • 合同式の計算規則（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    合同式（発展）
    $m$ を自然数とし，$a$，$b$，$c$，$d$ を整数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $a\equiv b$，$c\equiv d\pmod{m}$ ならば $ac\equiv bd\pmod{m}$ であることを証明せよ． \item[(2)] $123\times 456$ を 7 で割った余りを求めよ． \end{enumerate}
  • 素数を余りで分類して性質を調べる（B）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    整数の割り算と余り
    $p$，$p+2$，$p+4$ がすべて素数となるような自然数 $p$ をすべて求めよ．
  • 素数を余りで分類して性質を調べる（A）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    整数の割り算と余り
    $p$ が 5 以上の素数ならば，$p^2-1$ は 24 の倍数であることを証明せよ．
  • a²+b²=c² を満たす自然数の性質を余りで示す（B）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    整数の割り算と余り
    自然数 $a$，$b$，$c$ が $a^2+b^2=c^2$ を満たすとき，次のことを証明せよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $a$，$b$ の少なくとも一方は偶数である． \item[(2)] $a$，$b$，$c$ の少なくとも 1 つは 5 の倍数である． \end{enumerate}
  • a²+b²=c² を満たす自然数の性質を余りで示す（A）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    整数の割り算と余り
    自然数 $a$，$b$，$c$ が $a^2+b^2=c^2$ を満たすとき，$a$，$b$ の少なくとも一方は 3 の倍数であることを証明せよ．
  • 連続する整数の積で6の倍数であることを示す（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    整数の割り算と余り
    整数 $n$ について，$n(n+1)(2n+1)$ は 6 の倍数であることを証明せよ．
  • 連続する整数の積で6の倍数であることを示す（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    整数の割り算と余り
    整数 $n$ について，$n^3-n$ は 6 の倍数であることを証明せよ．
  • 余りで分類して性質を証明する（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    整数の割り算と余り
    \begin{enumerate} \item[(1)] 整数 $n$ について，$n^2$ を 4 で割った余りは 0 または 1 であることを証明せよ． \item[(2)] 2 つの整数 $m$，$n$ について，$m^2+n^2$ を 4 で割った余りは 3 にならないことを証明せよ． \end{enumerate}
  • 余りで分類して性質を証明する（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/23

    整数の割り算と余り
    \begin{enumerate} \item[(1)] 整数 $n$ について，$n^2$ を 3 で割った余りは 0 または 1 であることを証明せよ． \item[(2)] $n^2+1$ は 3 の倍数にならないことを証明せよ． \end{enumerate}