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★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布$n$ を自然数，$0<p<1$，$q=1-p$ とする．確率変数 $X$ のとりうる値が $0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$ で，$P(X=k)={}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}$ であるとする．$E(X)=np$ は既知として \begin{enumerate} \item[(1)] $E(X(X-1))=n(n-1)p^2$ であることを示せ． \item[(2)] (1) を用いて $V(X)=npq$ であることを示せ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布$n$ を自然数，$0<p<1$，$q=1-p$ とする．確率変数 $X$ のとりうる値が $0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$ で，$P(X=k)={}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}$ であるとき，$E(X)=np$ であることを，等式 $k\cdot{}_n\mathrm{C}_k=n\cdot{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\ (1\leqq k\leqq n)$ と二項定理を用いて証明せよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布箱の中に，$1$ と書かれた札が 1 枚，$2$ と書かれた札が 2 枚，…，$n$ と書かれた札が $n$ 枚入っている．この箱から札を 1 枚引くとき，札に書かれた数を $X$ とする．$X$ の期待値と分散を求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布$1$ から $n$ までの番号が 1 つずつ書かれた $n$ 枚の札から 1 枚を引くとき，札の番号を $X$ とする．$X$ の期待値と分散を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布1 枚の硬貨を 4 回投げるとき，表の出る回数を $X$ とする．$X$ の期待値，分散，標準偏差を，$X$ の確率分布から求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布赤玉 4 個と白玉 3 個が入った袋から，3 個の玉を同時に取り出すとき，取り出した赤玉の個数を $X$ とする．$X$ の期待値，分散，標準偏差を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布1 個のさいころを投げるとき，出る目を $X$ とする．$X$ の期待値，分散，標準偏差を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布確率変数 $X$ の確率分布が次の表で与えられている．$X$ の期待値，分散，標準偏差を求めよ． \[ \begin{array}{c|cccc|c} X & 1 & 2 & 3 & 4 & \text{計} \\ \hline P & \dfrac{1}{10} & \dfrac{2}{10} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{4}{10} & 1 \end{array} \] -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布100 本のくじの中に，1000 円が当たるくじが 1 本，500 円が当たるくじが 4 本，100 円が当たるくじが 15 本あり，残りははずれである．このくじを 1 本引くときの賞金の期待値を求めよ．また，このくじが 1 本 50 円で売られているとき，買うのは得といえるか． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布2 個のさいころを同時に投げるとき，出る目の大きい方（同じ目のときはその目）を $X$ とする．$X$ の期待値を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布赤玉 4 個と白玉 3 個が入った袋から，3 個の玉を同時に取り出すとき，取り出した赤玉の個数を $X$ とする．$X$ の確率分布を求めよ．また，$P(X\geqq 2)$ を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
確率変数と確率分布2 個のさいころを同時に投げるとき，出る目の差の絶対値を $X$ とする．$X$ の確率分布を求めよ．また，$P(X\leqq 1)$ を求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
数学的帰納法正の数からなる数列 $\{a_n\}$ が，すべての自然数 $n$ について \[ (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^{\,3}+a_2^{\,3}+\cdots+a_n^{\,3} \] を満たすとき，$a_n=n$ であることを証明せよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
数学的帰納法$8$ 以上のすべての自然数 $n$ は，0 以上の整数 $a$，$b$ を用いて $n=3a+5b$ と表されることを証明せよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
数学的帰納法$a_1=1,\ a_2=2,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について，すべての自然数 $n$ で \[ a_n\leqq\left(\frac{5}{3}\right)^n \] が成り立つことを証明せよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
数学的帰納法2 次方程式 $x^2-3x+1=0$ の 2 つの解を $\alpha$，$\beta$ とする．すべての自然数 $n$ について，$\alpha^n+\beta^n$ は整数であることを証明せよ． -
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
数学的帰納法すべての自然数 $n$ について，$n^5-n$ は $30$ の倍数であることを証明せよ． -
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
数学的帰納法$p$ を素数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $1\leqq r\leqq p-1$ のとき，二項係数 ${}_p\mathrm{C}_r$ は $p$ の倍数であることを示せ． \item[(2)] すべての自然数 $n$ について，$n^p-n$ は $p$ の倍数であることを数学的帰納法によって証明せよ． \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
数学的帰納法$a_1=3,\quad a_{n+1}=a_n^{\,2}-2na_n+2$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $a_2$，$a_3$，$a_4$ を求め，一般項 $a_n$ を推測せよ． \item[(2)] (1) の推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ． \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24
数学的帰納法$a_1=\dfrac{1}{2},\quad a_{n+1}=\dfrac{1}{2-a_n}$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $a_2$，$a_3$，$a_4$ を求め，一般項 $a_n$ を推測せよ． \item[(2)] (1) の推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ． \end{enumerate}