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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限\begin{enumerate} \item[(1)] $h_n=\sqrt[n]{2}-1$ とおく．$2=(1+h_n)^n\geqq 1+nh_n$ を用いて，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(2^n+5^n\right)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_n=\sqrt[n]{n}-1\ (n\geqq 2)$ とおく． \begin{enumerate} \item[(1)] $n=(1+a_n)^n$ に二項定理を用いて，$0<a_n<\sqrt{\dfrac{2}{n-1}}$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$n\geqq 3$ のとき，二項定理を用いて $3^n>\dfrac{4}{3}n(n-1)(n-2)$ が成り立つことを示し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3^n}$ を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$n\geqq 2$ のとき，二項定理を用いて $2^n>\dfrac{n(n-1)}{2}$ が成り立つことを示し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}$ を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^2 n}{\sqrt{n}}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n-\cos n}{n+1}$ \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+2\sin n}{3n-1}$ \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(an+b-\sqrt{n^2+4n}\right)=1$ が成り立つように，定数 $a$，$b$ の値を定めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{4n^2+an+1}-bn\right)=3$ が成り立つように，定数 $a$，$b$ の値を定めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{n^2+1}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3}{n^4}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$ \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n^3}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right\}$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の極限を求めよ．ただし，(2) では $n\geqq 4$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}\right)$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(n-\sqrt{n^2-4n}\right)$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{4n^2+n}-2n\right)$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の数列の極限を調べよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3-n}{1-2n^3}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)(3n-1)}{n^2+1}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n^2-5n)$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n+3}$ \item[(5)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos n\pi$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の数列の極限を調べよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n}{2n^2+5}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2+2}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-1}{2n^2+n}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2n-3n^2)$ \item[(5)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n n}{n+1}$ \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
逆関数と合成関数$f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$ とし，$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ と定める． \begin{enumerate} \item[(1)] $f_2(x)$，$f_3(x)$ を求めよ． \item[(2)] $f_n(x)$ を推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ． \end{enumerate} ただし，$x>0$ とする． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
逆関数と合成関数$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ とし，$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ と定める． \begin{enumerate} \item[(1)] $f_2(x)$，$f_3(x)$ を求めよ． \item[(2)] $f_n(x)$ を推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
逆関数と合成関数$f(x)=3x-2$ とする．1 次関数 $g(x)=ax+b$ が，すべての $x$ について $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$ を満たし，さらに $(g\circ g)(x)=4x-3$ を満たすとき，$g(x)$ を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
逆関数と合成関数$a$，$b$ は定数とし，$f(x)=2x+a$，$g(x)=bx+3$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$ がすべての $x$ について成り立つための，$a$，$b$ の条件を求めよ． \item[(2)] (1) の条件を満たし，さらに $(f\circ g)(0)=9$ となるとき，$a$，$b$ の値を求めよ． \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
逆関数と合成関数$f(x)=x-3$，$g(x)=x^2+2x$，$h(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$ とする．次の合成関数を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $(g\circ f)(x)$ \item[(2)] $(f\circ g)(x)$ \item[(3)] $(h\circ h)(x)$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
逆関数と合成関数$f(x)=2x+1$，$g(x)=x^2-1$，$h(x)=\dfrac{1}{x+1}$ とする．次の合成関数を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $(f\circ g)(x)$ \item[(2)] $(g\circ f)(x)$ \item[(3)] $(f\circ f)(x)$ \item[(4)] $(h\circ h)(x)$ \end{enumerate}