正四面体に内接・外接する球（B）

頂点 $\mathrm{A}$ から底面 $\mathrm{BCD}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると，$\mathrm{H}$ は $\triangle\mathrm{BCD}$ の外心で \[ \mathrm{BH}=\frac{12}{2\sin 60^\circ}=4\sqrt{3},\quad \mathrm{AH}=\sqrt{144-48}=4\sqrt{6} \] 外接球の中心を $\mathrm{O}$ とすると，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$ であるから，$\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{BCD}$ に下ろした垂線の足は $\triangle\mathrm{BCD}$ の外心 $\mathrm{H}$ と一致する．よって，$\mathrm{O}$ は直線 $\mathrm{AH}$ 上にあり，$\triangle\mathrm{OBH}$ で三平方の定理より \[ R^2=(4\sqrt{6}-R)^2+48 \quad\text{より}\quad 8\sqrt{6}R=144,\ R=3\sqrt{6} \] どの面も 1 辺 $12$ の正三角形で，その 3 頂点はどれも $\mathrm{O}$ からの距離が $R$ であるから，$\mathrm{O}$ から各面までの距離はどれも $\sqrt{R^2-(4\sqrt{3})^2}$ で等しい．よって，$\mathrm{O}$ は内接球の中心でもあり，内接球の半径は $r=\mathrm{OH}=4\sqrt{6}-3\sqrt{6}=\sqrt{6}$ よって $R:r=3:1$ 外接球の体積は $\dfrac{4}{3}\pi(3\sqrt{6})^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 162\sqrt{6}=216\sqrt{6}\pi$