正四面体に内接・外接する球（A）

頂点 $\mathrm{A}$ から底面に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると，$\mathrm{BH}=2\sqrt{3}$，$\mathrm{AH}=2\sqrt{6}$（$\mathrm{H}$ は $\triangle\mathrm{BCD}$ の外心）． (1) 外接球の中心を $\mathrm{O}$ とすると，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$ であるから，$\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{BCD}$ に下ろした垂線の足は $\triangle\mathrm{BCD}$ の外心 $\mathrm{H}$ と一致する．よって，$\mathrm{O}$ は直線 $\mathrm{AH}$ 上にあり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=R$．$\triangle\mathrm{OBH}$ で三平方の定理より \[ R^2=(2\sqrt{6}-R)^2+(2\sqrt{3})^2 \] $0=24-4\sqrt{6}R+12$ より $R=\dfrac{36}{4\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ (2) どの面も 1 辺 $6$ の正三角形で，その 3 頂点はどれも $\mathrm{O}$ からの距離が $R$ であるから，(1) と同様に，$\mathrm{O}$ から各面に下ろした垂線の足は各面の外心であり，$\mathrm{O}$ から各面までの距離はどれも $\sqrt{R^2-(2\sqrt{3})^2}$ で等しい．よって，$\mathrm{O}$ は内接球の中心でもあり，$r=\mathrm{OH}=\mathrm{AH}-R=2\sqrt{6}-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ 体積は $\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{6\sqrt{6}}{8}=\sqrt{6}\pi$