正四面体の頂点から底面までの距離（B）

(1) 頂点 $\mathrm{A}$ から底面に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると，$\triangle\mathrm{ABH}$，$\triangle\mathrm{ACH}$，$\triangle\mathrm{ADH}$ は斜辺の長さがどれも $3$ で $\mathrm{AH}$ が共通な直角三角形であるから合同で，$\mathrm{BH}=\mathrm{CH}=\mathrm{DH}$ となる．よって，$\mathrm{H}$ は $\triangle\mathrm{BCD}$ の外心で，$\mathrm{BH}=\dfrac{3}{2\sin 60^\circ}=\sqrt{3}$ $h=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$，\quad $\triangle\mathrm{BCD}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 9=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ $V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{6}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$ (2) 内接球の中心を $\mathrm{I}$ とすると，正四面体は $\mathrm{I}$ を頂点とし各面を底面とする高さ $r$ の 4 つの三角錐に分けられるから \[ V=4\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot r=3\sqrt{3}r \] よって $r=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\cdot\dfrac{1}{3\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$