正四面体の頂点から底面までの距離（A）

(1) $\mathrm{AH}$ は平面 $\mathrm{BCD}$ に垂直であるから，$\triangle\mathrm{ABH}$，$\triangle\mathrm{ACH}$，$\triangle\mathrm{ADH}$ は $\angle\mathrm{AHB}=\angle\mathrm{AHC}=\angle\mathrm{AHD}=90^\circ$ の直角三角形である．さらに，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$，$\mathrm{AH}$ は共通であるから，これらは合同であり $\mathrm{BH}=\mathrm{CH}=\mathrm{DH}$．よって $\mathrm{H}$ は $\triangle\mathrm{BCD}$ の外心で，$\mathrm{BH}$ は外接円の半径である．正弦定理より \[ \mathrm{BH}=\frac{6}{2\sin 60^\circ}=2\sqrt{3} \] (2) $\mathrm{AH}=\sqrt{36-12}=2\sqrt{6}$ $\triangle\mathrm{BCD}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36=9\sqrt{3}$ であるから \[ V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2} \]