正四面体の断面三角形の面積（A）

(1) $\mathrm{AM}$ は正三角形 $\mathrm{ACD}$ の中線であるから $\mathrm{AM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6=3\sqrt{3}$．同様に，$\mathrm{BM}$ は正三角形 $\mathrm{BCD}$ の中線であるから $\mathrm{BM}=3\sqrt{3}$ (2) $\cos\angle\mathrm{AMB}=\dfrac{27+27-36}{2\cdot 3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}}=\dfrac{18}{54}=\dfrac{1}{3}$ (3) $0^\circ<\angle\mathrm{AMB}<180^\circ$ より $\sin\angle\mathrm{AMB}>0$ であるから $\sin\angle\mathrm{AMB}=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ であるから \[ \triangle\mathrm{ABM}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=9\sqrt{2} \]