辺上の点を動かすときの面積の最小（B）

$\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sin 60^\circ=6\sqrt{3}$ $\mathrm{AP}=6-x$，$\mathrm{AQ}=x$ であるから \[ \triangle\mathrm{APQ}=\frac{1}{2}(6-x)x\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}(-x^2+6x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-3)^2+\frac{9\sqrt{3}}{4} \] 四角形 $\mathrm{PBCQ}$ の面積は $6\sqrt{3}-\triangle\mathrm{APQ}$ であるから，$\triangle\mathrm{APQ}$ が最大のとき最小となる． $0\leqq x\leqq 4$ において，$\triangle\mathrm{APQ}$ は $x=3$ で最大値 $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ をとる． よって $x=3$ のとき，四角形 $\mathrm{PBCQ}$ の面積は最小値 $6\sqrt{3}-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$