辺上の点を動かすときの面積の最小（A）

$\triangle\mathrm{APR}$ は $\mathrm{AP}=x$，$\mathrm{AR}=2-x$，$\angle\mathrm{A}=60^\circ$ であるから，面積は $\dfrac{1}{2}x(2-x)\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x(2-x)$．同様に，$\triangle\mathrm{BQP}$ は $\mathrm{BQ}=x$，$\mathrm{BP}=2-x$，$\triangle\mathrm{CRQ}$ は $\mathrm{CR}=x$，$\mathrm{CQ}=2-x$ で，挟む角はどちらも $60^\circ$ であるから，$\triangle\mathrm{APR}$ と同じ面積である． $\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4=\sqrt{3}$ であるから \[ \triangle\mathrm{PQR}=\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x(2-x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}(x^2-2x)+\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}(x-1)^2+\frac{\sqrt{3}}{4} \] $0<x<2$ において，$x=1$ のとき最小値 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$