円に内接する四角形（対角線と面積）（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 円に内接する四角形（対角線と面積）（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=1$，$\angle\mathrm{ABC}=60^\circ$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 対角線 $\mathrm{AC}$ の長さを求めよ．
\item[(2)] 辺 $\mathrm{DA}$ の長さを求めよ．
\item[(3)] 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\mathrm{AC}^2=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot\dfrac{1}{2}=21$ より $\mathrm{AC}=\sqrt{21}$
(2) 円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ であるから $\angle\mathrm{ADC}=120^\circ$．$\mathrm{DA}=x$ とすると，$\triangle\mathrm{ACD}$ で余弦定理より
\[ 21=1+x^2-2\cdot 1\cdot x\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \quad\text{すなわち}\quad x^2+x-20=0 \]
$(x+5)(x-4)=0$ で $x>0$ より $\mathrm{DA}=4$
(3) $\triangle\mathrm{ABC}+\triangle\mathrm{ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\sin 60^\circ+\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 4\sin 120^\circ=5\sqrt{3}+\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
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