対角線で分けて四角形の面積を求める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対角線で分けて四角形の面積を求める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AD}=8$，$\angle\mathrm{BAD}=60^\circ$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ の面積を求めよ．
\item[(2)] 対角線 $\mathrm{BD}$，$\mathrm{AC}$ の長さを求めよ．
\end{enumerate}
(1) 平行四辺形は対角線 $\mathrm{BD}$ で合同な 2 つの三角形に分けられるので
\[ 2\times\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin 60^\circ=20\sqrt{3} \]
(2) $\triangle\mathrm{ABD}$ で $\mathrm{BD}^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot\dfrac{1}{2}=49$，$\mathrm{BD}=7$
平行四辺形の隣り合う内角の和は $180^\circ$ であるから $\angle\mathrm{ABC}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$，また $\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=8$ である．よって，$\triangle\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{AC}^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=129$，$\mathrm{AC}=\sqrt{129}$
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