対角線で分けて四角形の面積を求める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対角線で分けて四角形の面積を求める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
四角形 $\mathrm{ABCD}$ において，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=3$，$\mathrm{DA}=5$，$\angle\mathrm{ABC}=60^\circ$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 対角線 $\mathrm{AC}$ の長さを求めよ．
\item[(2)] $\angle\mathrm{ADC}$ の大きさを求めよ．
\item[(3)] 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\triangle\mathrm{ABC}$ で余弦定理より $\mathrm{AC}^2=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot\dfrac{1}{2}=49$，$\mathrm{AC}=7$
(2) $\triangle\mathrm{ACD}$ で $\cos\angle\mathrm{ADC}=\dfrac{9+25-49}{2\cdot 3\cdot 5}=-\dfrac{1}{2}$ より $\angle\mathrm{ADC}=120^\circ$
(3) $\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\sin 60^\circ=10\sqrt{3}$，\quad $\triangle\mathrm{ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\sin 120^\circ=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$
よって四角形の面積は $10\sqrt{3}+\dfrac{15\sqrt{3}}{4}=\dfrac{55\sqrt{3}}{4}$
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