関係式から三角形の形を決める（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 関係式から三角形の形を決める（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ において，次の等式が成り立つとき，この三角形はどのような形か．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\sin A=2\sin B\cos C$
\item[(2)] $\sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C$
\end{enumerate}
外接円の半径を $R$ とする．
(1) 正弦定理と余弦定理より
\[ \frac{a}{2R}=2\cdot\frac{b}{2R}\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \]
両辺に $2R$ を掛けて整理すると $a^2=a^2+b^2-c^2$，すなわち $b^2=c^2$．$b>0$，$c>0$ より $b=c$
よって $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ の二等辺三角形
(2) 正弦定理より $\dfrac{a^2}{4R^2}+\dfrac{b^2}{4R^2}=\dfrac{c^2}{4R^2}$，すなわち $a^2+b^2=c^2$
よって $C=90^\circ$ の直角三角形
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