関係式から三角形の形を決める（A）

余弦定理より \[ a\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=b\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \] 両辺に $2abc$ を掛けて \[ a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(c^2+a^2-b^2) \] 展開して整理すると \[ c^2(a^2-b^2)-(a^4-b^4)=0 \quad\text{すなわち}\quad (a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)=0 \] よって $a^2=b^2$ または $c^2=a^2+b^2$．$a>0$，$b>0$ であるから $a=b$ または $c^2=a^2+b^2$ したがって，$\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$ の二等辺三角形 または $C=90^\circ$ の直角三角形