辺と角の関係式を証明する（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 辺と角の関係式を証明する（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ において，次の等式が成り立つことを証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a=b\cos C+c\cos B$
\item[(2)] $\dfrac{b^2-c^2}{a^2}=\dfrac{\sin^2 B-\sin^2 C}{\sin^2 A}$
\end{enumerate}
(1) 余弦定理より
\[ b\cos C+c\cos B=b\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{(a^2+b^2-c^2)+(c^2+a^2-b^2)}{2a}=\frac{2a^2}{2a}=a \]
(2) 外接円の半径を $R$ とすると，正弦定理より $\sin A=\dfrac{a}{2R}$，$\sin B=\dfrac{b}{2R}$，$\sin C=\dfrac{c}{2R}$．よって
\[ \frac{\sin^2 B-\sin^2 C}{\sin^2 A}=\frac{\frac{b^2}{4R^2}-\frac{c^2}{4R^2}}{\frac{a^2}{4R^2}}=\frac{b^2-c^2}{a^2} \]
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