辺と角の関係式を証明する（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 辺と角の関係式を証明する（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ において，次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ a(b\cos C-c\cos B)=b^2-c^2 \]
余弦定理より $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，$\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$ であるから
\begin{align*}
a(b\cos C-c\cos B)&=a\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}-\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)\\
&=\frac{(a^2+b^2-c^2)-(c^2+a^2-b^2)}{2}\\
&=\frac{2b^2-2c^2}{2}=b^2-c^2
\end{align*}
よって等式は成り立つ．
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