最大辺から最大角を求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 最大辺から最大角を求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ において，$(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6$ が成り立つとき，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a:b:c$ を求めよ．
\item[(2)] 最大の角の大きさを求めよ．
\end{enumerate}
(1) 正の数 $k$ を用いて $b+c=4k$，$c+a=5k$，$a+b=6k$ とおく．辺々加えて $2(a+b+c)=15k$，すなわち $a+b+c=\dfrac{15}{2}k$
よって $a=\dfrac{15}{2}k-4k=\dfrac{7}{2}k$，$b=\dfrac{5}{2}k$，$c=\dfrac{3}{2}k$ で，$a:b:c=7:5:3$
(2) 最大の角は最大の辺 $a$ に向かい合う $A$ である．(1) より，ある正の数 $m$ を用いて $a=7m$，$b=5m$，$c=3m$ と表されるから
\[ \cos A=\frac{25m^2+9m^2-49m^2}{2\cdot 5m\cdot 3m}=-\frac{1}{2} \]
よって $A=120^\circ$
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