最大辺から最大角を求める（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 最大辺から最大角を求める（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$x>1$ とする．3 辺の長さが $x^2+x+1$，$2x+1$，$x^2-1$ である三角形について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 最大の辺はどれか．
\item[(2)] 最大の角の大きさを求めよ．
\end{enumerate}
$a=x^2+x+1$，$b=2x+1$，$c=x^2-1$ とおく．$x>1$ より $a,b,c>0$
(1) $a-b=x^2-x=x(x-1)>0$，$a-c=x+2>0$ であるから，最大の辺は $a=x^2+x+1$
(2) 最大の角は $a$ に向かい合う角 $A$ である．
\begin{align*}
b^2+c^2-a^2&=(4x^2+4x+1)+(x^4-2x^2+1)-(x^4+2x^3+3x^2+2x+1)\\
&=-2x^3-x^2+2x+1=-(2x+1)(x^2-1)
\end{align*}
よって
\[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-(2x+1)(x^2-1)}{2(2x+1)(x^2-1)}=-\frac{1}{2} \]
したがって $A=120^\circ$
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