角の二等分線の長さ（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 角の二等分線の長さ（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=3$ とする．$\angle\mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とするとき，次のものを求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\cos B$
\item[(2)] $\mathrm{BD}$
\item[(3)] $\mathrm{AD}$
\end{enumerate}
(1) $\cos B=\dfrac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2-\mathrm{CA}^2}{2\cdot\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}}=\dfrac{25+49-9}{70}=\dfrac{13}{14}$
(2) 角の二等分線の性質より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:3$ であるから $\mathrm{BD}=\dfrac{5}{8}\cdot 7=\dfrac{35}{8}$
(3) $\triangle\mathrm{ABD}$ において余弦定理より
\[ \mathrm{AD}^2=25+\left(\frac{35}{8}\right)^2-2\cdot 5\cdot\frac{35}{8}\cdot\frac{13}{14}=\frac{1600+1225-2600}{64}=\frac{225}{64} \]
よって $\mathrm{AD}=\dfrac{15}{8}$
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