角の二等分線の長さ（A）

余弦定理より $\mathrm{BC}^2=36+9-2\cdot 6\cdot 3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=63$，よって $\mathrm{BC}=3\sqrt{7}$ 角の二等分線の性質より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=2:1$ であるから $\mathrm{BD}=\dfrac{2}{3}\cdot 3\sqrt{7}=2\sqrt{7}$ $\mathrm{AD}=x$ とする．$\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{CAD}=60^\circ$ であるから，$\triangle\mathrm{ABD}+\triangle\mathrm{ACD}=\triangle\mathrm{ABC}$ より \[ \frac{1}{2}\cdot 6x\sin 60^\circ+\frac{1}{2}\cdot 3x\sin 60^\circ=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sin 120^\circ \] $\sin 60^\circ=\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから，両辺を $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ で割って $6x+3x=18$．よって $9x=18$ より $x=2$