sinθ・cosθ を t とおいて最大・最小を求める（B）

$\cos\theta=t$ とおくと，$0^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ より $-1\leqq t\leqq 1$ で \[ y=-(1-t^2)+2at=t^2+2at-1=(t+a)^2-a^2-1 \] よって，$y$ のグラフは下に凸の放物線で，軸は直線 $t=-a$ である． [1] $-a<-1$ すなわち $a>1$ のとき 軸は区間 $-1\leqq t\leqq 1$ の左外にあるから，$y$ は $t=-1$ で最小となり，最小値は $1-2a-1=-2a$ [2] $-1\leqq -a\leqq 1$ すなわち $-1\leqq a\leqq 1$ のとき 軸は区間内にあるから，$y$ は $t=-a$ で最小となり，最小値は $-a^2-1$ [3] $1<-a$ すなわち $a<-1$ のとき 軸は区間の右外にあるから，$y$ は $t=1$ で最小となり，最小値は $1+2a-1=2a$ [1]〜[3] より，求める最小値は $a>1$ のとき $-2a$ $-1\leqq a\leqq 1$ のとき $-a^2-1$ $a<-1$ のとき $2a$