補助線を利用して 15°・75° の三角比を求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 補助線を利用して 15°・75° の三角比を求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\angle\mathrm{C}=90^\circ$，$\angle\mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{AC}=1$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ がある．辺 $\mathrm{CB}$ の $\mathrm{B}$ の側の延長上に，$\mathrm{BD}=\mathrm{BA}$ となる点 $\mathrm{D}$ をとる．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\angle\mathrm{ADC}$ の大きさと，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{AD}$ の長さを求めよ．
\item[(2)] $\tan 15^\circ$，$\sin 15^\circ$ の値を求めよ．
\item[(3)] $\cos 75^\circ$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$ である．$\triangle\mathrm{ABD}$ は $\mathrm{BA}=\mathrm{BD}$ の二等辺三角形で，外角 $\angle\mathrm{ABC}=30^\circ$ より
\[ \angle\mathrm{ADB}=\frac{30^\circ}{2}=15^\circ \]
$\mathrm{CD}=\mathrm{CB}+\mathrm{BD}=\sqrt{3}+2$
$\mathrm{AD}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{CD}^2=1+(2+\sqrt{3})^2=8+4\sqrt{3}$ より
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{8+2\sqrt{12}}=\sqrt{6}+\sqrt{2} \]
(2) 直角三角形 $\mathrm{ACD}$ において
\[ \tan 15^\circ=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3},\quad \sin 15^\circ=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \]
(3) $\cos 75^\circ=\cos(90^\circ-15^\circ)=\sin 15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます