補助線を利用して 15°・75° の三角比を求める（A）

$\triangle\mathrm{ABD}$ は直角二等辺三角形であるから $\mathrm{BD}=\sqrt{3}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$ $\triangle\mathrm{ACD}$ において $\mathrm{CD}=\mathrm{AD}\tan 30^\circ=1$，$\mathrm{AC}=2$ $\angle\mathrm{BAC}=75^\circ$，$\angle\mathrm{ABC}=45^\circ$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}+1$ $\triangle\mathrm{BCE}$ は直角二等辺三角形であるから $\mathrm{CE}=\mathrm{BE}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ $\mathrm{AE}=\mathrm{AB}-\mathrm{BE}=\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ 直角三角形 $\mathrm{ACE}$ で $\angle\mathrm{CAE}=75^\circ$ であるから \[ \sin 75^\circ=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\quad \cos 75^\circ=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \]