条件式のもとでの値の範囲と最大・最小（B）

$x+y=s$，$xy=p$ とおくと，条件は $s^2-p=1$，すなわち $p=s^2-1$ $x$，$y$ は実数であるから $(x-y)^2\geqq 0$ で，$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=s^2-4p$ より $s^2-4p\geqq 0$．$p=s^2-1$ を代入して \[ s^2-4(s^2-1)\geqq 0 \quad\text{すなわち}\quad 0\leqq s^2\leqq\frac{4}{3} \] このとき \[ x^2+y^2=s^2-2p=s^2-2(s^2-1)=2-s^2 \] であるから，$s^2$ の範囲より $\dfrac{2}{3}\leqq x^2+y^2\leqq 2$ 最大値 $2$ をとるのは $s=0$，$p=-1$ のときである．このとき $y=-x$ で，$xy=-x^2=-1$ より $x=\pm 1$．よって $(x,y)=(1,-1),\ (-1,1)$ 最小値 $\dfrac{2}{3}$ は $s^2=\dfrac{4}{3}$，$p=\dfrac{1}{3}$ のとき．$(x-y)^2=s^2-4p=0$ より $x=y=\dfrac{s}{2}$ で，$(x,y)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right),\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ したがって，$x^2+y^2$ は $(x,y)=(1,-1),\ (-1,1)$ のとき最大値 $2$，$(x,y)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right),\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ のとき最小値 $\dfrac{2}{3}$ をとる．