条件式のもとでの値の範囲と最大・最小（A）

(1) 与式を $x$ の 2 次方程式 $x^2-2yx+2y^2-2=0$ とみる．$x$ は実数であるから，この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると $D\geqq 0$ である． \[ \frac{D}{4}=y^2-(2y^2-2)=2-y^2\geqq 0 \] よって $-\sqrt{2}\leqq y\leqq\sqrt{2}$ (2) $x+y=k$ とおくと $y=k-x$．与式に代入して \[ x^2-2x(k-x)+2(k-x)^2=2 \quad\text{すなわち}\quad 5x^2-6kx+2k^2-2=0 \] $x$ は実数であるから，この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると $D\geqq 0$ である． \[ \frac{D}{4}=9k^2-5(2k^2-2)=10-k^2\geqq 0 \] よって $-\sqrt{10}\leqq k\leqq\sqrt{10}$ $k=\sqrt{10}$ のとき，重解 $x=\dfrac{3k}{5}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$，$y=k-x=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$ $k=-\sqrt{10}$ のとき，$x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$，$y=-\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$ したがって 最大値 $\sqrt{10}$（$x=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$，$y=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$） 最小値 $-\sqrt{10}$（$x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$，$y=-\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$）