条件式のもとで x+y の範囲（判別式の利用）（B）

$x+y=k$ とおくと $y=k-x$．これを $x^2+2y^2=6$ に代入して \[ x^2+2(k-x)^2=6 \quad\text{すなわち}\quad 3x^2-4kx+2k^2-6=0 \] $x$ が実数であるから，判別式について \[ \frac{D}{4}=4k^2-3(2k^2-6)=-2k^2+18\geqq 0 \] よって $k^2\leqq 9$，$-3\leqq k\leqq 3$ $k=3$ のとき，重解 $x=\dfrac{2k}{3}=2$，$y=1$ $k=-3$ のとき，重解 $x=-2$，$y=-1$ したがって $x=2$，$y=1$ のとき最大値 $3$，$x=-2$，$y=-1$ のとき最小値 $-3$