条件式のもとで x+y の範囲（判別式の利用）（A）

$x+y=s$ とおくと $y=s-x$．これを $x^2+xy+y^2=3$ に代入して \[ x^2+x(s-x)+(s-x)^2=3 \quad\text{すなわち}\quad x^2-sx+s^2-3=0 \] $s$ がとりうる値であるための条件は，この $x$ の 2 次方程式が実数解をもつことである．判別式を $D$ とすると $D\geqq 0$ であるから \[ D=s^2-4(s^2-3)=-3s^2+12\geqq 0 \] すなわち $s^2\leqq 4$ より $-2\leqq s\leqq 2$ したがって，$x+y$ のとりうる値の範囲は $-2\leqq x+y\leqq 2$（$x=y=1$ で $2$，$x=y=-1$ で $-2$ となる）