2つの方程式の実数解の有無の組合せ（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 2つの方程式の実数解の有無の組合せ（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
2 つの 2 次方程式
\[ x^2+2x+a=0 \quad\cdots\text{①},\qquad x^2-2ax+2a+3=0 \quad\cdots\text{②} \]
について，次の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] ①，② がともに実数解をもたない．
\item[(2)] ①，② の一方だけが実数解をもつ．
\end{enumerate}
①，② の判別式をそれぞれ $D_1$，$D_2$ とする．
\[ \frac{D_1}{4}=1-a,\qquad \frac{D_2}{4}=a^2-2a-3=(a+1)(a-3) \]
① が実数解をもつのは $a\leqq 1$，② が実数解をもつのは $a\leqq -1,\ 3\leqq a$ のときである．
(1) $D_1<0$ かつ $D_2<0$ より $a>1$ かつ $-1<a<3$．よって $1<a<3$
(2) ① だけが実数解をもつのは，$a\leqq 1$ かつ $-1<a<3$ より $-1<a\leqq 1$
② だけが実数解をもつのは，$a>1$ かつ「$a\leqq -1$ または $3\leqq a$」より $3\leqq a$
よって $-1<a\leqq 1,\ 3\leqq a$
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