頂点が直線上にある2次関数を決定する（A）

$x$ 軸に接するから，頂点は $x$ 軸上にあり，$y=a(x-p)^2$ とおける．2 点を通るから \[ ap^2=4 \quad\cdots\text{①},\qquad a(3-p)^2=1 \quad\cdots\text{②} \] ① より $a\neq 0$，$p\neq 0$．①を②で割ると $\dfrac{p^2}{(3-p)^2}=4$ であるから $p=\pm 2(3-p)$ $p=2(3-p)$ のとき $p=2$，$a=1$ $p=-2(3-p)$ のとき $p=6$，$a=\dfrac{1}{9}$ よって $y=(x-2)^2=x^2-4x+4$，\quad $y=\dfrac{1}{9}(x-6)^2=\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{4}{3}x+4$