置き換えで4次関数の最大・最小（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 置き換えで4次関数の最大・最小（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
関数 $y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1\ (0\leqq x\leqq 3)$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $t=x^2-2x$ とおくとき，$t$ のとりうる値の範囲を求めよ．
\item[(2)] $y$ の最大値と最小値，およびそのときの $x$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $t=(x-1)^2-1$ で，$0\leqq x\leqq 3$ では $x=1$ で最小値 $-1$，$x=3$ で最大値 $3$ をとる．よって $-1\leqq t\leqq 3$
(2) $y=t^2+4t-1=(t+2)^2-5$
$-1\leqq t\leqq 3$ では軸 $t=-2$ より右側にあるので，$y$ は $t$ について増加する．
$t=3$ すなわち $x=3$ のとき最大値 $20$
$t=-1$ すなわち $x=1$ のとき最小値 $-4$
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