2変数の2次式の最大・最小（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 2変数の2次式の最大・最小（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$x$，$y$ が互いに関係なく実数値をとるとき，
\[ P=x^2-2xy+2y^2-4y+5 \]
の最小値と，そのときの $x$，$y$ の値を求めよ．
まず $x$ について平方完成すると
\[ P=(x-y)^2-y^2+2y^2-4y+5=(x-y)^2+y^2-4y+5 \]
さらに $y$ について平方完成すると
\[ P=(x-y)^2+(y-2)^2+1 \]
$(x-y)^2\geqq 0$，$(y-2)^2\geqq 0$ であるから $P\geqq 1$．等号は $x-y=0$ かつ $y-2=0$，すなわち $x=y=2$ のとき成り立つ．
よって $x=2$，$y=2$ のとき最小値 $1$
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