条件式があるときの x²+y² の最大・最小（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 条件式があるときの x²+y² の最大・最小（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
実数 $x$，$y$ が $x+y=4$ を満たすとき，$x^2+y^2$ の最小値を求めよ．また，$x\geqq 0$，$y\geqq 0$ の条件を加えたときの $x^2+y^2$ の最大値を求めよ．
$y=4-x$ を代入すると
\[ x^2+y^2=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8 \]
よって $x=2$（$y=2$）のとき最小値 $8$
$x\geqq 0$，$y\geqq 0$ のとき，$y=4-x\geqq 0$ より $0\leqq x\leqq 4$．この範囲で $2(x-2)^2+8$ は $x=0,\ 4$ のとき最大値 $16$ をとる．
よって $(x,y)=(0,4),\ (4,0)$ のとき最大値 $16$
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