2次関数で表して最大・最小を求める（応用）（A）

$10x$ 円値上げする（$x$ は $0\leqq x\leqq 33$ の整数）とすると，値段は $(200+10x)$ 円，売上個数は $(100-3x)$ 個であるから，売上金額 $y$ 円は \[ y=(200+10x)(100-3x)=-30x^2+400x+20000=-30\left(x^2-\frac{40}{3}x\right)+20000=-30\left(x-\frac{20}{3}\right)^2+\frac{64000}{3} \] グラフは上に凸で，軸は直線 $x=\dfrac{20}{3}=6.66\cdots$ であるから，$y$ は $x\leqq 6$ の範囲で増加し，$x\geqq 7$ の範囲で減少する．よって，整数 $x$ のうち $y$ が最大になるのは $x=6$ または $x=7$ のときである． $x=6$ のとき $y=21320$，$x=7$ のとき $y=21330$ であるから，$x=7$ のとき $y$ は最大となる． よって，$x=7$ すなわち 1 個 $270$ 円にすればよい（売上金額は $21330$ 円）．