図形の面積の最大・最小（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 図形の面積の最大・最小（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
1 辺の長さが $6$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$ 上に，それぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ を $\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}=\mathrm{DS}$ となるようにとる．四角形 $\mathrm{PQRS}$ の面積の最小値と，そのときの $\mathrm{AP}$ の長さを求めよ．
$\mathrm{AP}=x$ とすると $0\leqq x\leqq 6$ で，$\mathrm{PB}=6-x$．正方形から 4 つの合同な直角三角形（直角をはさむ 2 辺が $x$，$6-x$）を除いたものが四角形 $\mathrm{PQRS}$ であるから，その面積 $S$ は
\[ S=36-4\cdot\frac{1}{2}x(6-x)=2x^2-12x+36=2(x-3)^2+18 \]
$0\leqq x\leqq 6$ において，$S$ は $x=3$ のとき最小値 $18$ をとる．
よって，四角形 $\mathrm{PQRS}$ の面積は，$\mathrm{AP}=3$ のとき最小値 $18$ をとる．
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