a で変わる最小値をさらに最大にする（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: a で変わる最小値をさらに最大にする（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$a$ を定数とする．2 次関数 $f(x)=x^2-2ax+a\ (0\leqq x\leqq 2)$ の最小値を $m(a)$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $m(a)$ を $a$ の式で表せ．
\item[(2)] $m(a)$ の最大値と，そのときの $a$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $f(x)=(x-a)^2-a^2+a$ で，グラフは下に凸，軸は直線 $x=a$．
$a<0$ のとき，軸は定義域の左外にあり，定義域で増加するから $m(a)=f(0)=a$
$0\leqq a\leqq 2$ のとき，軸が定義域内にあるから $m(a)=f(a)=-a^2+a$
$a>2$ のとき，軸は定義域の右外にあり，定義域で減少するから $m(a)=f(2)=4-3a$
(2) $a<0$ のとき $m(a)=a<0$．$a>2$ のとき $m(a)=4-3a<-2$．
$0\leqq a\leqq 2$ のとき $m(a)=-\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}$ であり，$a=\dfrac{1}{2}$ で最大値 $\dfrac{1}{4}$ をとる．
$\dfrac{1}{4}>0$ であるから，$m(a)$ は $a=\dfrac{1}{2}$ のとき最大値 $\dfrac{1}{4}$
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