定義域が動くときの最大値・最小値（場合分け）（A）

$f(x)=(x-2)^2+1$ で，グラフは下に凸，軸は直線 $x=2$．定義域が動くので，軸との位置関係で場合分けする． (i) $a+1<2$ すなわち $a<1$ のとき，定義域で減少するので，最小値は \[ f(a+1)=(a-1)^2+1=a^2-2a+2 \] (ii) $a\leqq 2\leqq a+1$ すなわち $1\leqq a\leqq 2$ のとき，軸が定義域内にあるので，最小値は $f(2)=1$ (iii) $a>2$ のとき，定義域で増加するので，最小値は $f(a)=a^2-4a+5$ 以上から，$f(x)$ の最小値は $a<1$ のとき，$x=a+1$ で最小値 $a^2-2a+2$ $1\leqq a\leqq 2$ のとき，$x=2$ で最小値 $1$ $a>2$ のとき，$x=a$ で最小値 $a^2-4a+5$