有理数と無理数の和・積の性質（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 有理数と無理数の和・積の性質（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 有理数 $a$ と無理数 $b$ について，$a+b$ は無理数であることを証明せよ．
\item[(2)] $x=1+\sqrt{2}$ が 2 次方程式 $x^2+px+q=0$ の解であるとき，有理数 $p$，$q$ の値を求めよ．ただし，$\sqrt{2}$ が無理数であることは用いてよい．
\end{enumerate}
(1) $a+b$ が有理数であると仮定し，$a+b=r$（$r$ は有理数）とおくと $b=r-a$ となる．有理数どうしの差は有理数であるから $b$ は有理数となり，$b$ が無理数であることに矛盾する．よって $a+b$ は無理数である．
(2) $x=1+\sqrt{2}$ を代入すると
\[ (3+2\sqrt{2})+p(1+\sqrt{2})+q=0 \]
すなわち $(3+p+q)+(2+p)\sqrt{2}=0$
$3+p+q$，$2+p$ は有理数であるから，$\sqrt{2}$ が無理数であることより
\[ 3+p+q=0,\quad 2+p=0 \]
（$2+p\neq 0$ なら $\sqrt{2}=-\dfrac{3+p+q}{2+p}$ が有理数となり矛盾する．）よって $p=-2$，$q=-1$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます