有理数と無理数の和・積の性質（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 有理数と無理数の和・積の性質（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a$，$b$ が有理数で $a+b\sqrt{3}=0$ ならば $a=b=0$ であることを証明せよ．ただし，$\sqrt{3}$ が無理数であることは用いてよい．
\item[(2)] 等式 $(2+\sqrt{3})x+(1-2\sqrt{3})y=4-3\sqrt{3}$ を満たす有理数 $x$，$y$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $b\neq 0$ と仮定すると $\sqrt{3}=-\dfrac{a}{b}$ となり，右辺は有理数であるから，$\sqrt{3}$ が無理数であることに矛盾する．よって $b=0$ であり，このとき $a=0$
(2) 左辺を整理すると
\[ (2x+y)+(x-2y)\sqrt{3}=4-3\sqrt{3} \]
すなわち $(2x+y-4)+(x-2y+3)\sqrt{3}=0$．$2x+y-4$，$x-2y+3$ は有理数であるから，(1) より
\[ 2x+y-4=0,\quad x-2y+3=0 \]
これを解いて $x=1$，$y=2$
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