根号を含む数が無理数であることの証明（B）

(1) $\sqrt{6}$ が有理数であると仮定すると，1 以外に正の公約数をもたない自然数 $a$，$b$ を用いて $\sqrt{6}=\dfrac{a}{b}$ と表せる．このとき \[ a^2=6b^2 \] 右辺は偶数であるから $a^2$ は偶数で，$a$ は偶数である．$a=2c$（$c$ は自然数）とおくと $4c^2=6b^2$，すなわち $2c^2=3b^2$．左辺は偶数であるから $3b^2$ は偶数で，$3$ は奇数なので $b^2$ は偶数，よって $b$ も偶数である． $a$，$b$ がともに偶数となり，1 以外に正の公約数をもたないことに矛盾する．よって $\sqrt{6}$ は無理数である． (2) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が有理数であると仮定し，$\sqrt{2}+\sqrt{3}=r$（$r$ は有理数）とおく．両辺を 2 乗すると \[ 5+2\sqrt{6}=r^2 \qquad\text{よって}\qquad \sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2} \] 右辺は有理数であるから，(1) に矛盾する．よって $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は無理数である．