根号を含む数が無理数であることの証明（A）

(1) 対偶「$n$ が $7$ の倍数でないならば $n^2$ は $7$ の倍数でない」を示す． $n$ が $7$ の倍数でないとき，整数 $k$ を用いて $n=7k+r$（$r=1,2,3,4,5,6$）と表せる． \[ n^2=7(7k^2+2kr)+r^2 \] $r^2=1,4,9,16,25,36$ を $7$ で割った余りは $1,4,2,2,4,1$ でいずれも $0$ でないから，$n^2$ は $7$ の倍数でない．よってもとの命題は真． (2) $\sqrt{7}$ が有理数であると仮定すると，1 以外に正の公約数をもたない自然数 $a$，$b$ を用いて $\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}$ と表せる．両辺を 2 乗して整理すると \[ a^2=7b^2 \] よって $a^2$ は $7$ の倍数であり，(1) より $a$ も $7$ の倍数である．$a=7c$（$c$ は自然数）とおくと $49c^2=7b^2$，すなわち $b^2=7c^2$．よって $b^2$ は $7$ の倍数であり，(1) より $b$ も $7$ の倍数である． $a$，$b$ がともに $7$ の倍数となり，$a$，$b$ が 1 以外に正の公約数をもたないことに矛盾する．よって $\sqrt{7}$ は無理数である．