否定を仮定して矛盾を導く（A）

(1) $1+2\sqrt{2}$ が有理数であると仮定し，$1+2\sqrt{2}=r$（$r$ は有理数）とおくと \[ \sqrt{2}=\frac{r-1}{2} \] $r$ が有理数ならば右辺は有理数であるから，$\sqrt{2}$ が有理数となり，$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する． よって $1+2\sqrt{2}$ は無理数である． (2) $a$，$b$，$c$ のすべてが $1$ 未満であると仮定すると，$a<1$，$b<1$，$c<1$ を辺々加えて \[ a+b+c<3 \] これは $a+b+c=3$ に矛盾する．よって $a$，$b$，$c$ のうち少なくとも 1 つは $1$ 以上である．