対偶による証明（実数の大小と整数）（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対偶による証明（実数の大小と整数）（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の命題を，対偶を用いて証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 自然数 $n$ について，$n^2$ が $5$ の倍数ならば $n$ は $5$ の倍数である．
\item[(2)] 実数 $x$，$y$ について，$x^2+y^2<2$ ならば「$x<1$ または $y<1$」
\end{enumerate}
(1) 対偶「$n$ が $5$ の倍数でないならば $n^2$ は $5$ の倍数でない」を示す．
$n$ が $5$ の倍数でないとき，整数 $k$ を用いて $n=5k\pm 1$ または $n=5k\pm 2$ と表せる．
\begin{align*}
(5k\pm 1)^2&=5(5k^2\pm 2k)+1\\
(5k\pm 2)^2&=5(5k^2\pm 4k)+4
\end{align*}
いずれも $5$ で割った余りが $1$ または $4$ であるから，$n^2$ は $5$ の倍数でない．よってもとの命題も真である．
(2) 対偶「$x\geqq 1$ かつ $y\geqq 1$ ならば $x^2+y^2\geqq 2$」を示す．
$x\geqq 1>0$ より $x^2\geqq 1$，同様に $y^2\geqq 1$ であるから $x^2+y^2\geqq 2$．対偶が真であるから，もとの命題も真である．
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