対偶による証明（実数の大小と整数）（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対偶による証明（実数の大小と整数）（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の命題を，対偶を用いて証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 実数 $x$，$y$ について，$x+y>2$ ならば「$x>1$ または $y>1$」
\item[(2)] 整数 $a$，$b$ について，$a^2+b^2$ が奇数ならば $a+b$ は奇数
\end{enumerate}
(1) 対偶「$x\leqq 1$ かつ $y\leqq 1$ ならば $x+y\leqq 2$」を示す．
$x\leqq 1$，$y\leqq 1$ を辺々加えると $x+y\leqq 2$ となり，対偶は真．よってもとの命題も真である．
(2) 対偶「$a+b$ が偶数ならば $a^2+b^2$ は偶数」を示す．
\[ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \]
$a+b$ が偶数ならば $(a+b)^2$ は偶数であり，$2ab$ も偶数であるから，$a^2+b^2$ は偶数である．
対偶が真であるから，もとの命題も真である．
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